每日一题[2889]数值估计

已知 $\mathrm{e}^{x}+(\ln x-a) \sin x\geqslant 0$ 恒成立，则正整数 $a$ 的最大值为_______．

答案    $2$．

解析    取 $x=\dfrac 12$，则

$$LHS=\sqrt{\rm e}+(-\ln 2-a)\sin\dfrac 12\geqslant 0,$$ 从而 $$a\leqslant \dfrac{\sqrt{\rm e}}{\sin\dfrac 12}-\ln 2<\dfrac{1.7}{\frac{23}{48}}-\left(2-\sqrt 2\right)<3,$$ 而当 $a=2$ 时，有 $$LHS={\rm e}^x+(\ln x-2)\sin x,$$ 当 $x\geqslant {\rm e}^2$，有 $${\rm e}^x+(\ln x-2)\sin x\geqslant {\rm e}^x+(\ln x-2)\cdot (-1)={\rm e}^x-\ln x+2\geqslant (x+1)-(x-1)+2= 4,$$ 符合题意． 当 $0<x<{\rm e}^2$，有 $${\rm e}^x+(\ln x-2)\sin x\geqslant {\rm e}^x+(\ln x-2)\cdot x={\rm e}^x+x\ln x-2x\geqslant (x+1)+x\left(1-\dfrac 1x\right)-2x=0,$$ 符合题意． 综上所述，正整数 $a$ 的最大值为 $2$．