每日一题[2888]三阳开泰

已知 $f(x)=\cos x+m x^2-1$（$x \geqslant 0$）．

1、若 $f(x) \geqslant 0$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

2、证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$\mathrm{e}^x-2 \geqslant \sin x-\cos x$．

解析

1、注意到 $f(0)=0$，端点分析如下，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=-\sin x+2mx,$$ 有 $f'(0)=0$，其二阶导函数 $$f''(x)=-\cos x+2m,$$ 有 $f''(0)=2m-1$，讨论分界点为 $m=\dfrac 12$．

情形一     $m\geqslant \dfrac 12$．此时有

$$f(x)\geqslant \cos x+\dfrac 12x^2-1=2\cdot \left(\dfrac x2\right)^2-2\sin^2\dfrac x2\geqslant 0,$$ 符合题意．

情形二     $0<m<\dfrac 12$，则在区间 $\left(0,\arccos(2m)\right)$ 上有 $f''(x)<0$，从而 $f'(x)$ 单调递减，进而 $f'(x)<0$，从而 $f(x)$ 单调递减，进而 $f(x)<0$，不符合题意．

情形三     $m\leqslant 0$．此时 $f(x)\leqslant \cos x-1$，当 $x=\dfrac{\pi}2$ 时不符合题意．

综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．

2、根据题意，当 $x\geqslant 0$ 时，有

$$\begin{cases} {\rm e}^x\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2,\\ x\geqslant \sin x,\\ \dfrac 12x^2-1\geqslant -\cos x,\end{cases}$$ 三式相加整理即得．