每日一题[2809]奇偶形态

已知首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列,其前 $n$ 项和为 ${S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}\right)$,且 ${S_3} + {a_3},{S_5} + {a_5},{S_4} + {a_4}$ 成等差数列.

1、求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式.

2、设 ${T_n} = {S_n} - \dfrac{1}{S_n}$($n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$),求数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 的最大项的值与最小项的值.

解析

1、本题考查数列的前 $n$ 项和以及基本数列的性质,将题中条件用数列的项表示再求解基本量是解决问题的关键. 由 ${S_3} + {a_3},{S_5} + {a_5},{S_4} + {a_4}$ 成等差数列,可得\[(S_5+a_5)-(S_3+a_3)=(S_4+a_4)-(S_5+a_5)\iff 4a_5=a_3,\]于是数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=\pm \dfrac 12$,又首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列,因此舍去 $q=\dfrac 12$ 的解,可得 $q=-\dfrac 12$,进而 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=-3\left(-\dfrac 12\right)^n$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

2、本题考查数列的单调性,注意分奇偶结合单调性讨论是解决问题的关键. 根据第 $(1)$ 小题的结果,得\[{S_n} = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}}\right)^n} = {\begin{cases} 1 + \dfrac{1}{2^n},&n~\text{为奇数}, \\ 1 - \dfrac{1}{2^n},&n~\text{为偶数}. \\ \end{cases}}\] 当 $n$ 为奇数时,${S_n}$ 随 $n$ 的增大而减小,所以\[1 < {S_n} \leqslant {S_1}{ = }\dfrac{3}{2},\]故\[0 < {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \leqslant {S_1} - \dfrac{1}{S_1} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} .\]当 $n$ 为偶数时,${S_n}$ 随 $n$ 的增大而增大,所以\[\dfrac{3}{4} = {S_2} \leqslant {S_n} < 1,\]故\[0 > {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \geqslant {S_2} - \dfrac{1}{S_2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{7}{12}.\]综上所述,对于 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$,总有\[ - \dfrac{7}{12} \leqslant {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \leqslant \dfrac{5}{6}.\]所以数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 最大项的值为 $\dfrac{5}{6}$,最小项的值为 $ - \dfrac{7}{12}$.

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