已知抛物线 $C$ 的顶点为 $O\left(0,0\right)$，焦点为 $F\left(0,1\right)$．
1、求抛物线 $C$ 的方程．
2、过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A,B$ 两点，若直线 $AO,BO$ 分别交直线 $l:y = x - 2$ 于 $M,N$ 两点，求 $ \left|MN \right|$ 的最小值．
解析
1、本题考查抛物线的基本量与方程，用基本量表达条件即可． 根据题意，设抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=2py$，则焦点 $F\left(0,\dfrac p2\right)$，因此 $p=2$，从而抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=4y$．
2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以抛物线上点的坐标作为参数表达条件是解决问题的关键． 设 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$，则根据抛物线的平均性质，有\[4ab=-1,\]此时直线 $OA:y=ax$，直线 $OB:y=bx$，因此\[M\left(\dfrac{2}{1-a},\dfrac{2a}{1-a}\right),\quad N\left(\dfrac{2}{1-b},\dfrac{2b}{1-b}\right),\]因此\[\begin{split} |MN|&=\sqrt{2}\cdot \left|\dfrac{2}{1-a}-\dfrac{2}{1-b}\right|\\ &=\dfrac{2\sqrt 2\cdot |a-b|}{\left|\dfrac 34-(a+b)\right|}\\ &=\dfrac{2\sqrt 2\cdot \sqrt{\left(\dfrac 34-t\right)^2+1}}{|t|}\\ &=2\sqrt 2\cdot \sqrt{\left(\dfrac 5{4t}-\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{16}{25}}\\ &\geqslant \dfrac{8\sqrt 5}5,\end{split}\]其中 $t=\dfrac 34-(a+b)$，等号当 $t=\dfrac{25}{12}$，也即 $a+b=-\dfrac 43$ 时取得，因此所求 $|MN|$ 的最小值为 $\dfrac{8\sqrt 2}5$．