每日一题[2651]一静一动

已知平面向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c$ 均为单位向量，且 $|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=1$，则 $(\boldsymbol a-2\boldsymbol b) \cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol c)$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$

B．$[-2,2]$

C．$\left[-\sqrt{7}, \sqrt{7}\right]$

D．$[-3,3]$

答案    A．

解析    设 $\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c$ 分别为 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$，则 $A,B,C$ 均在以 $O$ 为圆心 $1$ 为半径的圆上．由 $|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=1$ 可得 $\triangle AOB$ 是正三角形，倍长 $OB$ 到 $P$，进而可得 $2\boldsymbol b-\boldsymbol a=\overrightarrow{AP}$，易得 $\angle OAP$ 为直角，且 $\left|\overrightarrow{AP}\right|=\sqrt 3$．

注意到 $\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AP}$ 上的投影数量取值范围是 $[-1,1]$，可得所求 $(\boldsymbol a-2\boldsymbol b) \cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol c)=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的取值范围是 $\left[-\sqrt 3,\sqrt 3\right]$．