每日一题[2455]生成函数

随机选取 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 的三元子集 $\{a,b,c\}$，则 $abc$ 的数学期望为_______．

答案    $\dfrac{147}{4}$．

解析    考虑函数

$$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)$$ 的 $x^3$ 的项的系数即所有可能的 $abc$ 的取值之和，而 $$f(x)=(x^2+7x+6)(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)=(x^2+7x)^3+(6+10+12)(x^2+7x)^2+\cdots$$ 因此所求数学期望为 $$\dfrac{7^3+2\cdot 28\cdot 7}{\dbinom63}=\dfrac{147}{4}.$$