2015年高考数学新课标I卷（理科）解析几何大题（第20题）：
在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C:y=\dfrac{x^2}{4}\)与直线\(l:y=kx+a(a>0)\)交于\(M,N\)两点．
（1）当\(k=0\)时，分别求\(C\)在点\(M\)和\(N\)处的切线方程；
（2）\(y\)轴上是否存在点\(P\)，使得当\(k\)变动时，总有\(\angle OPM=\angle OPN\)？说明理由．
解 （1）当\(k=0\)时，点\(M\)、\(N\)的横坐标为\(\pm 2\sqrt a\)，进一步可得所求的切线方程为\[y=\pm\sqrt ax-a.\]
（2）存在，点\(P\)的坐标为\((0,-a)\)，证明如下．
设\(M\left(m,\dfrac{m^2}{4}\right)\)，\(N\left(n,\dfrac{n^2}{4}\right)\)．联立直线与抛物线方程有\[x^2-4kx-4a=0,\]于是\[m+n=4k,mn=-4a.\]此时直线\(OM\)的斜率为\[\dfrac{\dfrac{m^2}{4}-(-a)}{m-0}=\dfrac m4+\dfrac am,\]同理直线\(ON\)的斜率为\[\dfrac n4+\dfrac an,\]这两条直线的斜率之和为\[\dfrac{m+n}{4}+\dfrac{a(m+n)}{mn}=0,\]因此直线\(OM\)与直线\(ON\)关于\(y\)轴对称，也就有\(\angle OPM=\angle OPN\)，且与\(k\)的取值无关．