已知 $AB$ 为圆 $\omega$ 的弦，$P$ 在弦 $AB$ 上，圆 $\omega_1$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $B$．圆 $\omega_1$ 和圆 $\omega_2$ 相交于点 $P,Q$，直线 $PQ$ 交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $AP=5$，$PB=3$，$XY=11$，且 $PQ^2$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
答案 $65$．
解析 设圆 $\omega,\omega_1,\omega_2$ 的圆心分别为 $O,O_1,O_2$，则 $O_1,O_2$ 分别在线段 $AO,BO$ 上，如图．显然 $\triangle AOB,\triangle AO_1P,\triangle BO_2P$ 是相似的等腰三角形，进而 $PO_2\parallel AO$ 且 $PO_2\parallel BO$，于是 $PO_1OO_2$ 是平行四边形．这里指出，$O,P$ 分别位于 $O_1O_2$ 的两侧，$P,Q$ 也分别位于 $O_1O_2$ 的两侧．
由于 $PO_1OO_2$ 是平行四边形，于是\[\begin{cases} OO_2=O_1P=O_1Q,\\ OO_1=O_2P=O_2Q,\end{cases}\]从而 $\triangle OO_1O_2$ 与 $\triangle QO_2O_1$ 全等，因此 $O_1OQO_2$ 是梯形且 $OQ\parallel PQ$．由于 $PQ$ 为圆 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 的公共弦，于是 $O_1O_2\perp PQ$，进而 $OQ\perp PQ$，因此 $Q$ 是线段 $XY$ 的中点，于是 $QX=QY=\dfrac{11}2$，进而根据圆幂定理，可得\[AP\cdot PB=PX\cdot PY\implies 15=(QX-PQ)\cdot (PQ+QY)\implies \dfrac{121}4-PQ^2=15,\]因此 $PQ^2=\dfrac{61}4$，从而所求 $m+n=61+4=65$．