每日一题[1813]随机过程

按照如下流程产生一个 $0$ 到 $1$ 的随机数：先投掷一枚硬币，如果是正面朝上，则再次投掷，投掷为正面则得到 $0$，投掷为反面则得到 $1$；如果是反面朝上，则得到一个 $[0,1]$ 上的随机数．设 $x,y$ 是按此流程得到的两个随机数，则 $|x-y|>\dfrac 12$ 的概率是_______．

答案：$\dfrac7{16}$．

解析    按照得到 $x,y$ 的方式分 $3$ 类讨论，根据全概率公式，所求概率为

$$\dfrac 14\cdot \dfrac 12+\dfrac 14 \cdot \dfrac 14+\dfrac 12\cdot \dfrac 12=\dfrac7{16}.$$ 其中 $x,y$ 均为 $[0,1]$ 是的随机数是可以依据几何概率计算（有两种常见构造方式）．