每日一题[1804]“分离变量”

已知关于 $x$ 的方程 $|x-k|=\dfrac{\sqrt 2}{2}k\sqrt x$ 在区间 $[k-1,k+1]$ 上有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是_______．

答案    $(0,1]$．

解析    若 $k\leqslant 0$，则

$$|x-k|\geqslant 0\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2k\sqrt x,$$ 不符合题意，因此 $k>0$．此时设 $f(x)=\left|\dfrac xk-1\right|$（$k-1\leqslant x\leqslant k+1$），$g(x)=\sqrt{\dfrac x2}$，则题意为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个公共点，如图．

进而

$$\dfrac 1k\geqslant g(k+1)\iff k^2(k+1)\leqslant 2\iff 0<k\leqslant 1,$$ 因此实数 $k$ 的取值范围是 $(0,1]$．