每日一题[1795]约束与规划

已知二次函数 $f(x)=ax^2+2bx+c$（$c>b>a$），其图象过点 $(1,0)$，并与直线 $y=-a$ 有公共点．求证：$0\leqslant \dfrac ba<1$．

解析    根据题意，有 $f(1)=0$ 且方程 $f(x)+a=0$ 有解，即

$$\begin{cases} a+2b+c=0,\\ 4b^2-4a(c+a)\geqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} c=-a-2b,\\ b(b+2a)\geqslant 0,\end{cases}$$ 因此点 $(a,b)$ 的约束条件为 $$\begin{cases} -a-2b>b>a,\\ b(b+2a)\geqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} a<b<-\dfrac 13a,\\ b\leqslant 0 \lor b\geqslant -2a,\end{cases}$$ 进而可得 $0\leqslant \dfrac ba<1$，命题得证．