每日一题[880]对边描述的四面体

如图，四面体$ABCD$中，$AB$和$CD$为对棱．设$AB = a$，$CD = b$，且异面直线$AB$与$CD$的距离为$d$，夹角为$\theta$．

(1)若$\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$，且棱$AB$垂直于平面$BCD$，求四面体$ABCD$的体积；

(2) 当$\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$时，证明：四面体$ABCD$的体积为一定值；

(3)求四面体$ABCD$的体积．

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分析与解　这是一个循序渐进的题目，可以依次解决，也可以直接解决问题⑶．

(1)如左图，在平面$BCD$中，作$BM \perp CD$于$M$，则$BM = d$．

所以

$${V_{A - BCD}} = \dfrac{1}{3} \cdot AB \cdot {S_{\triangle BCD}} = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot \dfrac{1}{2}b \cdot d = \dfrac{1}{6}abd.$$
(2)如中图，过$A$作$AM\perp CD$于$M$，连结$BM$，则$CD\perp$平面$ABM$，从而平面$AMB \perp$平面$BCD$，过$M$作$MN \perp AB$于$N$，则$MN = d$． $${V_{A - BCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle AMB}} \cdot CD = \dfrac{1}{6}abd.$$
(3)如右图，将四面体补成平行六面体$ABGH - ECFD$，则$AB$与$CD$的距离即平行六面体上下底面的距离．

在底面平行四边形$ECFD$中，$EC = a$，$CD = b$，$\sin \angle DCE = \sin \theta$，
于是

$${S_{ECFD}} = 2{S_{\triangle DCE}} = 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sin \theta \cdot ab = ab\sin \theta ,$$ 所以 $${V_{A - BCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{ABGH - ECFD}} = \dfrac{1}{6}abd\sin \theta .$$

这个四面体的体积公式，在由对棱给出的四面体问题中经常应用，比如每日一题[275]GPS定位．