每日一题[431]数列“两象性”

2016年北京市东城区高三上学期期末考试理科第14题（有稍许改动）

数列$\{a_n\}$满足：

$$a_{n-1}+a_{n+1}>2a_n(n>1,n\in \mathcal N^*),$$ 给出下述命题：

① 若数列$\{a_n\}$满足：$a_2>a_1$，则$a_n>a_{n-1}(n>1,n\in \mathcal N^*)$ 成立；

② 存在常数$c$，使得$a_n>c(n\in \mathcal N^*)$成立；

③ 若$p+q>m+n$（其中$p,q,m,n\in\mathcal N^*$），则$a_p+a_q>a_m+a_n$；

④ 存在常数$d$，使得$a_n>a_1+(n-1)d(n>1,n\in\mathcal N^*)$都成立．

上述命题正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）

---

答案　①④

分析　数列是一种特殊的函数，函数的性质很多都在数列中有体现，从函数的角度看数列，可以有效地利用我们已经熟悉的函数知识，比如各种初等函数及其性质，从而做出直观的判断或构造出反例．另一方面，数列是离散的，具有递推的性质，数列的性质，特别是单调性问题有一个有力的武器——数列的差分：

$$\Delta a_n=a_{n}-a_{n-1},$$ （记$a_0=0$）．数列单调性的严格推导，往往需要考虑数列的差分．

解　从函数角度：本题关键条件

$$a_{n-1}+a_{n+1}>2a_n(n>1,n\in \mathcal N^*)$$ 可以变形为 $$\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}2>a_n(n>1,n\in \mathcal N^*)$$ 设 $a_n=f(n)$，则此条件表示 $(n-1,f(n-1))$ 和 $(n+1,f(n+1))$ 两点连线的中点高于点 $(n,f(n))$，如图： 这反映了函数的凹凸性，满足这种性质的函数有三种情形：单增、单减、先减后增，如下图： 这三种情形中，单增的时候，数列增长越来越快；单减的时候，数列减少越来越慢；先减后增的时候，减少由快到慢，增长由慢到快．有了这样的直观理解，我们就可以借助这样的情况去对题中的几个命题尝试给出判断，及构造反例．

从数列的差分角度，题中关键条件

$$a_{n-1}+a_{n+1}>2a_n(n>1,n\in \mathcal N^*)$$ 即 $$\Delta a_{n+1}>\Delta a_n.$$ 即数列$\{a_n\}$的差分数列$\{\Delta a_n\}$从第二项起单调递增，而$\{a_n\}$是它的差分数列的前$n$项和，即 $$a_n=\sum_{i=1}^n{\Delta a_i}.$$ 于是，对于①，由$a_2>a_1$知$\Delta a_2>0$，而数列$\{\Delta a_n\}$从第$2$项起单调递增，所以$n>1$时，$\Delta a_n>\Delta a_2>0$，①正确．

对于②，由函数的性质知，当对应的函数单减且无下界时，错误，而底数小于$1$的对数函数就满足，于是尝试构造 $a_n={\log_{\frac 12}}n$，从而知②不正确．从数列差分角度，当一个数列单调递增时，它们的前$n$项和数列可以没有下限，如取 $\Delta a_n=-\dfrac 1n$，则

$$a_n=-\sum_{i=1}^n{\dfrac 1i},$$ 找不到常数$c$，所以②不正确．

对于③，数列$\{a_n\}$可以单调递减，从而当$p=q>m=n$时，显然不成立，用②的反例即可．

对于④，因为

$$a_n=a_1+\sum_{i=2}^n\Delta a_i>a_1+(n-1)\Delta a_2,$$ 故④成立．从函数角度来说，④的意思就是能够画出一条起点与 $(1,a_1)$ 重合，其它的点都在 $a_n=f(n)$ 下方的射线 $b_n=h(n)$ 来，事实上，三种情形都可以画出，如图： 注　利用函数的性质得到数列的性质需要谨慎，因为数列是离散的，所以有时会出现错误．