每日一题[57] 交点曲线系

已知圆\(x^2+y^2-6y+m=0\)和直线\(x+2y-3=0\)交于\(P\)、\(Q\)两点，且以\(PQ\)为直径的圆过原点，求\(m\)的值．

正确的答案是\(\dfrac{18}5\)．

取圆与直线的交点曲线系\[x^2+y^2-6y+m+\lambda\left(x+2y-3\right)=0,\]其中\(\lambda\)为参数．

整理上述方程，得\[\left(x+\dfrac{\lambda}{2}\right)^2+\left(y-3+\lambda\right)^2+m-3\lambda-\dfrac 14\lambda^2-\left(3-\lambda\right)^2=0\]

该圆以\(PQ\)为直径，于是圆心在直线\(x+2y-3=0\)上，因此\[-\dfrac{\lambda}{2}+2\cdot\left(3-\lambda\right)-3=0,\]解得\[\lambda=\dfrac 65.\]

又该圆经过原点\((0,0)\)，所以\[m-3\lambda=0,\]进而可得\[m=\dfrac{18}5.\]