每日一题[355]代数与几何结合解决整点问题

在平面直角坐标系中，如果$x$和$y$都是整数，就称点 $(x,y)$ 是整点，下列命题中正确的是_____(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果 $k$ 与 $b$ 都是无理数，则直线 $y=kx+b$ 不经过任何整点；

③直线 $l$ 经过无穷多个整点，当且仅当 $l$ 经过两个不同的整点；

④直线 $y=kx+b$ 经过无穷多个整点的充分必要条件是：$k$ 与 $b$ 都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线．

正确答案是①③⑤．

分析    这道题是整点问题，画出平面直角坐标系中的整点，从几何与代数两方面去考虑这几个结论的正确性．对于不成立的结论，只要举出反例即可，对于成立的结论则需要给出证明．

解    考虑①，画出原点附近的整点，如图的直线既不与坐标轴平行，又不经过任何整点，比如直线$y=x+\dfrac 12$，这样的直线有无穷多条，①成立；

考虑②，$k$为斜率，$b$为纵截距，在$y$轴上任取一个纵坐标为无理数的点，考虑这个点与任何一个整点（不在$y$轴上）的连线，则该直线的斜率一定为无理数，但这条直线上有且仅有一个整点．例如过$(0,\sqrt 2)$与$(1,0)$的直线 $$y=\sqrt 2(1-x),$$ 故②不正确，⑤正确，对于⑤也可以考虑过任意一个整点，且斜率为无理数的直线，这条直线上一定没有其它整点，否则两个整点的连线对应的斜率必为有理数，故⑤正确；

考虑③，当直线$l$ 经过两个不同的整点$A,B$时，点$A$关于点$B$的对称点，以及点$B$关于点$A$的对称点一定都是整点，且在直线$l$上，类似这样的对称可以一直进行下去，所以 $l$一定经过无穷多个整点．反之显然，故③成立．

考虑④，当$y=kx+b$经过无穷多个整点时，由斜率公式知$k$为有理数，从而$b=y-kx$为有理数；反之，$k,b$都是有理数时，可以不经过任何整点，如①中的例子$y=x+\dfrac 12$，故④错误．

事实上，对于直线$y=kx+b$上的整点个数，我们可以得到下面的结论：