如图,等边△ABC内有一点P,PC>PB,若∠BPC=150∘,PA=5,S△PBC=3,求S△ABC.
证明 如图,将△CBP绕点C顺时针旋转60∘到△CAQ,连接PQ.易知△CPQ为等边三角形,∠CQP=60∘,∠AQP=90∘.
设BP=a,PC=b,则AQ=PB=a,PQ=PC=b.
在Rt△APQ中,根据勾股定理,得a2+b2=25.
延长BP交CQ于点H,则PH⊥CQ,所以CH=b2.

在Rt△BCH中,根据勾股定理,得BC2=(a+√3b2)2+(b2)2=a2+b2+√3ab.
综合 (1)(2)(3),得BC2=25+12√3.
所以S△ABC=√34BC2=254√3+9.
由题我们可以看出,有的时候结合问题不需要解方程,运用整体带入的方法更省时省力.
综上,已知等边三角形ABC内一点P,无论是已知PA、PB、PC的长求解三角形还是求这三条线段的长类似的问题,通常我们利用旋转的办法将PA、PB、PC集中到一个三角形APQ中.实现从“Y”到“△”的转化.