从“Y”到“△”的问题(一)

如图,等边ABC内有一点PPC>PB,若BPC=150PA=5SPBC=3,求SABC22


证明    如图,将CBP绕点C顺时针旋转60CAQ,连接PQ23易知CPQ为等边三角形,CQP=60AQP=90
BP=aPC=b,则AQ=PB=aPQ=PC=b
RtAPQ中,根据勾股定理,得a2+b2=25.


延长BPCQ于点H,则PHCQ,所以CH=b222-3SPBC=12BPCH=12×a×b2=3,则ab=12.
RtBCH中,根据勾股定理,得BC2=(a+3b2)2+(b2)2=a2+b2+3ab.

综合 (1)(2)(3),得BC2=25+123.

所以SABC=34BC2=2543+9.

由题我们可以看出,有的时候结合问题不需要解方程,运用整体带入的方法更省时省力.


综上,已知等边三角形ABC内一点P,无论是已知PAPBPC的长求解三角形还是求这三条线段的长类似的问题,通常我们利用旋转的办法将PAPBPC集中到一个三角形APQ中.实现从“Y”到“△”的转化.22-5

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