2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #14
设正整数 $n=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots+a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中 $a_i\in\{0,1\}$，$i=0,1,2,\cdots,k$．记 $\omega(n)=a_0+a_1+\cdots+a_k$．从集合 $\left\{x\in \mathbb N^{\ast}\mid x\leqslant 2000\right\}$ 中随机抽取一个数 $n$，则 $\omega(n)\leqslant 3$ 的概率为_____．
答案 $\dfrac{231}{2000}$．
解析 考虑二进制，有 $2000_{(10)}=11111010000_{(0)}$，这是一个 $11$ 位的二进制数，因此 $\omega(n)\leqslant 3$ 的概率为\[\dfrac{\binom{11}1+\binom{11}2+\binom{11}3}{2000}=\dfrac{11+55+165}{2000}=\dfrac{231}{2000}.\]