2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #8
已知函数 $f(x)=\left(x^2-k x+k-2\right)\mathrm e^x+(k-2)\mathrm e^2$，若存在 $x_0<2$，对于任意 $x\in\left(x_0,2\right)$ 都有 $f(x)<0$，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,3)$
B．$(-3,0)$
C．$(0,3)$
D．$(-3,+\infty)$
答案 A．
解析 函数 $f(x)$ 满足 $f(2)=0$，且其导函数\[f'(x)=\mathrm e^x(x^2+(2-k)x-2),\]于是 $f'(2)=\mathrm e^2(6-2k)$．
情形一 $k<3$．此时取 $x_0$ 为关于 $x$ 的二次方程 $x^2+(2-k)x-2=0$ 的正根即可，符合题意．
情形二 $k>3$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减，不符合题意．
情形三 $k=3$．此时 $f'(2)=0$，函数 $f(x)$ 的二阶导函数\[f''(x)=\mathrm e^x(x^2+(4-k)x-k),\]于是 $f''(2)=\mathrm e^2(12-3k)>0$，因此取 $x_0$ 为关于 $x$ 的二次方程 $x^2+(4-k)x-k=0$ 的正根即可，符合题意．
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,3)$．