2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #18
曲线 $E:\dfrac{x^2}t+\dfrac{y^2}{1-t}=1$（$0<t<1$）与直线 $l: x+y=1$ 交于点 $A$，过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线交曲线 $E$ 于另外的点 $B$，设线段 $AB$ 的中点为 $P$，定点 $Q$ 的坐标为 $\left(\dfrac 1 8,\dfrac 1 8\right)$．
1、用 $t$ 表示点 $A$ 的坐标；
2、证明：$|PA|+|PQ|$ 为定值；
3、是否存在某条直线始终与以 $PQ$ 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解析
1、由等效判别式可得曲线 $E$ 与直线 $l$ 相切于 $A$，设 $A(x_1,y_1)$，则对应切线方程为\[\dfrac{x_1x}{t}+\dfrac{y_1y}{1-t}=1,\]与 $x+y=1$ 对比可得 $A(t,1-t)$．
2、设 $P(x_0,y_0)$，则根据中点弦方程可得直线 $AB$ 的方程为\[ \dfrac{x_0x}{t}+\dfrac{y_0t}{1-t}=\dfrac{x_0^2}{t}+\dfrac{y_0^2}{1-t},\]与 $AB:x-y+(-2t+1)=0$ 对比，设 $P(mt,m(t-1))$，则\[m^2t+m^2(1-t)=m(2t-1)\implies m=2t-1.\] 当 $t=\dfrac 12$ 时，可得 $|PA|+|PQ|=\dfrac{5\sqrt 2}8$，接下来证明点 $P$ 在以 $Q$ 为焦点，$x+y=\frac 14$ 为准线的抛物线上，该抛物线的方程为\[\left(\dfrac{x-y}{\sqrt 2}\right)^2=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \dfrac{x+y}{\sqrt 2}\iff (x-y)^2=x+y,\]将点 $P$ 的坐标代入可得该坐标满足抛物线方程，因此命题成立．
3、在第 $(2)$ 小题的基础上，根据抛物线的定义，以 $PQ$ 为直径的圆始终与抛物线在顶点 $O$ 处的切线 $x+y=0$ 相切．