2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #16
如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=1$，$PB=2\sqrt 3$，$PC=3$，$AB=3$，$BC=\sqrt 6$，$AC=\sqrt 7$，点 $M,N$ 分别是棱 $PB,PC$ 上的点，且直线 $PA\perp~\text{平面}~AMN$．
1、求 $MN$ 的长；
2、求三棱锥 $P-ABC$ 的体积；
3、求直线 $BC$ 与平面 $PAB$ 所成角的正弦值．
解析
1、设 $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 分别为 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$，则\[\boldsymbol a^2=1,\boldsymbol b^2=9,\boldsymbol c^2=7,\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=-1,\boldsymbol b\cdot \boldsymbol c=5,\boldsymbol c\cdot \boldsymbol a=-\frac 12,\]设 $\overrightarrow{AM}=\lambda \boldsymbol a+(1-\lambda )\boldsymbol b$，$\overrightarrow{AN}=\mu\boldsymbol a+(1-\boldsymbol )\boldsymbol c$，则\[ PA\perp AMN\implies \begin{cases} PA\perp AM,\\ PA\perp AN,\end{cases}\implies \begin{cases} 0=\lambda \boldsymbol a^2+(1-\lambda)\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b,\\ 0=\mu\boldsymbol a^2+(1-\mu)\boldsymbol a\cdot \boldsymbol c,\end{cases}\implies \begin{cases} \lambda=\frac 12,\\ \mu=\frac 13,\end{cases}\]因此\[ \begin{split} |MN|&=\left|\dfrac{\boldsymbol a+\boldsymbol b}2-\dfrac{\boldsymbol a+2\boldsymbol c}{3}\right|\\ &=\dfrac 16|\boldsymbol a+3\boldsymbol b-2\boldsymbol c|\\ &=\dfrac 16\sqrt{\boldsymbol a^2+9\boldsymbol b^2+16\boldsymbol c^2+6\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b-24\boldsymbol b\cdot \boldsymbol c-8\boldsymbol c\cdot \boldsymbol a}\\ &=\sqrt 2.\end{split}\]
2、设平面 $PAB$ 的法向量为 $\boldsymbol n=x \boldsymbol a+y\boldsymbol b+c$，则\[\begin{cases} \boldsymbol n\cdot \boldsymbol a=0,\\ \boldsymbol n\cdot \boldsymbol b=0,\end{cases}\implies \begin{cases} x-y-\frac 12=0,\\ -x+9y+5=0,\end{cases}\implies \begin{cases} x=-\frac{1}{16},\\ y=-\frac 9{16},\end{cases}\]于是\[|\boldsymbol n|=\left|-\dfrac{1}{16}\boldsymbol a-\dfrac 9{16}\boldsymbol b+\boldsymbol c\right|=\dfrac 1{16}|\boldsymbol a+9\boldsymbol b-16\boldsymbol c|=\dfrac{3\sqrt{30}}8,\]因此\[d(C,PAB)=\dfrac{\boldsymbol c\cdot \boldsymbol n}{|\boldsymbol n|}=\dfrac{\frac{135}{32}}{\frac{3\sqrt{30}}8}=\dfrac{45}{4\sqrt{30}}.\]又 $\cos\angle PAB=-\frac 13$，于是 $\sin\angle PAB=\dfrac{2\sqrt 2}3$，从而三棱锥 $P-ABC$ 的体积\[[PABC]=\dfrac 13\cdot [\triangle PAB]\cdot d(C,PAB)=\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 12\cdot \dfrac{2\sqrt 2}3\cdot 1\cdot 3\right)\cdot \dfrac{45}{4\sqrt{30}}=\dfrac{\sqrt{15}}4.\]
3、根据第 $(2)$ 小题的结果，直线 $BC$ 与平面 $PAB$ 所成角的正弦值为\[ \dfrac{d(C,PAB)}{|BC|}=\dfrac{\frac{45}{4\sqrt{30}}}{\sqrt 6}=\dfrac{3\sqrt 5}8.\]