2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #14
如图，已知 $\omega>0$，在函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图象中，其图象上的点 $A,B,C$ 是同一直线上的三点，且该直线与 $x$ 轴交于点 $D$，若 $|AD|=|DB|=|BC|=1$，则 $\omega=$ _____．
答案 $\dfrac{\sqrt 5\pi}4$．
解析 不妨设 $\varphi=0$，设点 $A,B,C,D$ 的纵坐标分别为 $\sin \theta,-\sin \theta,-2\sin \theta,0$，其中 $ \theta$ 为锐角，则 $A,B,C,D$ 的横坐标分别为\[\dfrac{\theta}{\omega},\dfrac{\theta+\pi}{\omega},\dfrac{\theta+\frac{3\pi}2}{\omega},\dfrac{\theta+\frac{\pi}2}{\omega},\]于是\[\sin\left(\theta+\dfrac{3\pi}2\right)=-2\sin\theta\implies -\cos\theta=-2\sin\theta\implies \sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5},\]于是\[|AD|=1\implies \sin^2\theta+\left(\dfrac{\pi}{2\omega}\right)^2=1\implies \omega=\dfrac{\sqrt 5\pi}4.\]