2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #8
已知 $A,B$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左右顶点，$P_1,P_2,\cdots,P_n$ 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记 $\angle AP_n B=\theta_n$，若 $\left\{\overrightarrow{P_n A}\cdot\overrightarrow{P_n B}\right\}$ 和 $\left\{\dfrac 1{1-\cos 2\theta_n}\right\}$ 都是等差数列且公差相等，则 $\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}=$ （ ）
A．$2$
B．$4$
C．$6$
D．$8$
答案 D．
解析 设 $P(x,y)$，则\[\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=|OP|^2-a^2=x^2+y^2-a^2=\dfrac{a^2}{b^2}y^2+y^2=\dfrac{a^2+b^2}{b^2}y^2,\]而\[[\triangle PAB]=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot d(P,AB)=ay,\]记 $\angle APB=\theta$，则\[\tan\theta=\dfrac{PA\cdot PB\cdot \sin\theta}{PA\cdot PB\cdot \cos\theta}=\dfrac{2[\triangle PAB]}{\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}}=\dfrac{2ab^2}{(a^2+b^2)y},\]于是\[\dfrac{1}{1-\cos2\theta}=\dfrac{1}{1-\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}}=\dfrac{1}{2\tan^2\theta}+\dfrac 12=\dfrac{(a^2+b^2)^2y^2}{8a^2b^4}+\dfrac 12,\]因此\[\dfrac{a^2+b^2}{b^2}=\dfrac{(a^2+b^2)^2}{8a^2b^2}\implies \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=8.\]