2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #9
记 $f(x)=A_{1} \sin \left(\omega_{1} x+\varphi_{1}\right)$，$ g(x)=A_{2} \sin \left(\omega_{2} x+\varphi_{2}\right)$（$A_{1}, A_{2}, \omega_{1}, \omega_{2},\varphi_1,\varphi_2>0$）所有零点分别构成集合 $S_{1}, S_{2}$，二者的所有公共点横坐标构成集合 $S_{3}$，已知 $S_{2}=S_{3}$，$S_{1} \neq S_{2}$，且 $f(x),g(x)$ 没有相同的极值点，则（ ）
A．$S_{2} \varsubsetneqq S_{1}$
B．$\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \in \mathbb{N}$
C．$\dfrac{\varphi_{1}}{\varphi_{2}} \in \mathbb{Q}$
D．$A_{1} \omega_{1} \leqslant A_{2} \omega_{2}$
答案 ABD．
解析 由 $S_2=S_3$ 可得 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共点即 $g(x)$ 的零点，而 $f(x)$ 除与 $g(x)$ 相交于其零点外，还有其他的零点，于是 $S_2$ 是 $S_1$ 的真子集，选项 $\boxed{A}$ 正确；
设 $\omega_1=\omega \cdot \omega_2$，$A_1=A\cdot A_2$，$\omega,A>0$，则问题等价于 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi_1)$，$g(x)=\sin( x+\varphi_2)$ 的情形，由于 $S_1\subsetneqq S_2$，有\[\forall k_1\in\mathbb Z,\exists k_2\in\mathbb Z,\omega(-\varphi_2+k_1\pi)+\varphi_1=k_2\pi,\]于是 $\omega\in\mathbb N$ 且 $\omega\geqslant 2$，选项 $\boxed{B}$ 正确，同时 $\varphi_1-\omega \varphi_2=n\pi$，取 $f(x)=\frac 12\sin(2x+\pi+2)$，$g(x)=\sin(x+1)$，选项 $ \boxed{C} $ 错误；
对于选项 $ \boxed{D} $，有 $f(x)=A\sin(\omega x+\omega \varphi_2+n\pi)$，因此问题进一步等价为 $f(x)=A\sin (\omega x+n\pi)$，$g(x)=\sin x$，由于 $f(x),g(x)$ 没有相同的极值点，于是考虑\[\omega\cdot \left(k\pi+\frac{\pi}2\right)+n\pi=(\omega k+n)\pi+\dfrac{\omega\pi}2,\]于是 $\omega$ 为偶数，设 $g(x)=A\sin(\omega x+n\pi)-\sin x$，则 $g(x)\leqslant 0$ 在 $[0,\pi]$ 上恒成立，注意到 $g(0)=g(\pi)=0$，于是\[\begin{cases} g'(0)=A\omega \cos(n\pi)-1\leqslant 0,\\ g'(\pi)=A\omega \cos(\omega\pi+n\pi)+1\geqslant 0,\end{cases}\implies A\omega \leqslant 1,\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $ \boxed{A} $ $ \boxed{B}$ $\boxed{D}$．