2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #8
若存在 $a>0$ 和定义在 $\mathbb{R}$ 上的 $f(x)$，使得 $f(x+a)=a f(x), f(x) \geqslant b^{x}$，则 $b$ 的最大值为（ ）
A．$\mathrm e$
B．$\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$
C．$\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
D．${\mathrm e}^{\mathrm e}$
答案 B．
解析 根据题意，有\[f(x)\geqslant b^x\iff \ln b\leqslant \dfrac{\ln f(x)}{x},\]设右侧函数为 $g(x)$，则\[f(x)=\mathrm e^{xg(x)}\implies \mathrm e^{(x+a) g(x+a)}=a \mathrm e^{xg(x)}\implies (x+a)g(x+a)-xg(x)=\ln a,\]于是当 $k\in\mathbb N^{\ast}$ 时，有\[(ka)g(ka)=k\ln a\implies g(ka)=\dfrac{\ln a}a\leqslant \dfrac{1}{\mathrm e},\]等号当 $a=\mathrm e$，$g(x)=\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时取得，从而 $b$ 的最大值为 $\mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}$．