2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #4
已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 和双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ 且 $e_{1} e_{2}=1$，则 $e_{1}=$ （ ）
A．$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
B．$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
C．$\dfrac{1}{3}$
D．$\dfrac{2}{3}$
答案 B．
解析 根据题意，按椭圆的焦点位置分类，有\[\dfrac{b^2}{a^2}=1-e_1^2=e_2^2-1~\text{或}~\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac1{1-e_1^2}=e_2^2-1\implies e_1^2+e_2^2=2,3,\]舍去 $e_1^2+e_2^2=2$，可得 $e_1+e_2=\sqrt 5$，于是 $(e_1,e_2)=\left(\frac{\sqrt 5-1}2,\frac{\sqrt 5+1}2\right)$．