2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #18
已知 $a>0$，函数 $f_a(x)=\sin x+\sin (ax)$，当 $a\in\mathbb Q$ 时，$f_a(x)$ 最大值为 $M_a$；当 $a\notin\mathbb Q$ 时，记 $M_a=2$．
1、求 $M_3$；
2、讨论 $f_{\pi}(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{16\pi}{\pi+1}\right)$ 的极值点个数；
3、证明：$M_a\geqslant M_3$．
解析
1、根据题意，$M_3$ 是函数 $f_3(x)=\sin x+\sin(3x)$ 的最大值，由三倍角公式，有\[f_3(x)=\sin x+(3\sin x-4\sin^3x)=2\sqrt 2\cdot \sqrt{2\sin^2 x(1-\sin^2x)^2}\leqslant \dfrac{8\sqrt 3}9,\]等号当 $\sin^2x=\dfrac 13$ 时取得，因此 $M_3=\dfrac{8\sqrt 3}9$．
2、
用零点分段 函数 $f_\pi(x)=\sin x+\sin(\pi x)$，由和差化积公式可得\[f_\pi (x)=2\sin\frac{(\pi+1)x}2\cos\frac{(\pi-1)x}2,\]设 $\alpha_k=\dfrac{2k\pi}{\pi+1}$，$\beta_k=\dfrac{(2k-1)\pi}{\pi-1}$，则 $f_\pi(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{16\pi}{\pi+1}\right]$ 即 $[\alpha_0,\alpha_8]$ 内的零点为 $\alpha_k$（$k=0,1,2,\cdots,8$）以及 $\beta_k$（$k=1,2,3,4$），共 $13$ 个 $^{[1]}$，而 $f_\pi(x)$ 在相邻的零点之间均存在极值点，因此 $f_\pi(x)$ 在 $(\alpha_0,\alpha_8)$ 内的极值点至少有 $12$ 个．
证明每段上的极值点唯一 函数 $f_\pi(x)$ 的导函数以及二阶导函数分别为\[f_\pi'(x)=\cos x+ \pi\cos (\pi x),\quad f_\pi''(x)=-\sin x-\pi^2\sin(\pi x),\]因此当 $f_\pi'(x)=0$ 时，有\[\begin{split} f_\pi(x)\cdot f_\pi''(x)&=-\sin^2x-\pi^2\sin^2(\pi x)-(1+\pi^2)\sin x\sin(\pi x)\\ &=(\cos^2x-1)+\pi^2(\cos^2(\pi x)-1)-(1+\pi^2)\sin x\sin(\pi x)\\ &=\cos ^2x+\pi^2\cos^2(\pi x)-(1+\pi^2)(1+\sin x\sin(\pi x))\\ &=-2\pi\cos x\cos(\pi x)-(1+\pi^2)(1+\sin x\sin(\pi x))\\ &\leqslant -2\pi\cos x\cos(\pi x)-2\pi (1+\sin x\sin(\pi x))\\ &=-2\pi \big(1+\cos(\pi x-x)\big)\\ &\leqslant 0,\end{split}\]同时取等需要\[\cos x=\cos (\pi x)=\cos\frac{(\pi-1)x}2=0,\]这不可能，函数 $f_\pi(x)$ 的极大值大于零且极小值小于零，因此 $f_\pi(x)$ 在相邻的极值点之间均存在零点，于是 $f_\pi(x)$ 在 $(\alpha_0,\alpha_8)$ 内的极值点至多有 $12$ 个．
综上所述，$f_{\pi}(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{16\pi}{\pi+1}\right)$ 的极值点个数为 $12$．
3、由 $f_{1/a}(ax)=f_a(x)$ 可得 $M_{1/a}=M_a$，又 $M_3<2$，只需要考虑 $a\in\mathbb Q$ 且 $a\leqslant 1$ 的情形．设 $\theta=\arcsin\frac{\sqrt 3}{3}$，则 $\theta\in\left(\frac{\pi}6,\frac{\pi}4\right)$，$M_3=\sin\theta+\sin(3\theta)$．
情形一 $a\in\left[\dfrac 13,1\right]$．此时\[\theta\leqslant 3a\theta<\pi-\theta,\]于是\[f_a(3\theta)=\sin(3\theta)+\sin(3a\theta)\geqslant \sin(3\theta)+\sin\theta=M_3.\]
情形二 $a\in\left[\dfrac{\theta}{3(\pi-\theta)},\dfrac 13\right)$．此时\[\theta\leqslant 3a(\pi-\theta)<\pi-\theta,\]于是\[f_a(3(\pi-\theta))=\sin(3\theta)+\sin(3a(\pi-\theta))\geqslant \sin(3\theta)+\sin\theta=M_3.\]
情形三 $a\in\left(0,\dfrac{\theta}{3(\pi-\theta)}\right)$．此时考虑\[f_a\left(2k\pi+3\theta\right)=\sin(3\theta)+\sin(k\cdot 2a\pi +3a\theta),\]此时 $2a\pi<\theta$，于是存在 $K\in\mathbb N^{\ast}$，使得\[\theta\leqslant K\cdot 2a\pi+3a\theta<\pi-\theta,\]于是\[f_a(2K\pi+3\theta)\geqslant \sin(3\theta)+\sin\theta=M_3,\]
综上所述，命题得证．