已知焦点在 $x$ 轴上，中心在原点 $O$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆经过点 $M(2,1)$，动点 $A, B$（不与点 $M$ 重合）均在椭圆上，且直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之和为 $1$．
1、求椭圆的方程；
2、求证：直线 $A B$ 经过定点．
解析
1、$\dfrac {x^2}8+\dfrac{y^2}2=1$；
2、以 $M$ 为参考点，设直线 $MA,MB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则直线 $AB$ 的方程为\[8k_1k_2\left(\dfrac x4-\dfrac y2-1\right)+2\left(\dfrac y2-\dfrac x4-1\right)=(k_1+k_2)(x+2y),\]而 $k_1+k_2=1$，于是\[\left(2k_1k_2-\frac 32\right)x-(4k_1k_2+1)(y+2)=0,\]因此直线 $AB$ 经过定点 $(0,-2)$．