已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，斜率不为 $0$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的左侧），直线 $F_1A,F_1B$ 的斜率互为相反数．
1、求证：直线 $l$ 过定点；
2、设直线 $F_1B,F_2A$ 相交于点 $M$，求证：$|MF_2|-|MF_1|$ 为定值．
解析
1、设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A'(x_1,-y_1)$，则直线 $A'B$ 过点 $F(-1,0)$，于是 \[\frac{x_2y_1+y_2x_1}{y_1+y_2}=-1,\]从而\[\frac{x_2y_1-y_2x_1}{y_1-y_2}=-4,\]因此直线 $AB$ 的横截距为 $-4$，进而直线 $l$ 过定点 $(-4,0)$．
2、设 $M(x_0,y_0)$，则\[\begin{cases} \frac{y_0}{x_0+1}=\frac{y_2}{x_2+1}=-\frac{y_1}{x_1+1},\\ \frac{y_0}{x_0-1}=\frac{y_1}{x_1-1},\end{cases}\implies \frac{y_1}{y_0}=\frac{x_1+1}{-x_0-1}=\frac{x_1-1}{x_0-1}=\dfrac{2x_1}{-2}=\dfrac{2}{-2x_0},\]因此 $(x_1,y_1)=\left(\frac{1}{x_0},-\frac{y_0}{x_0}\right)$，且 $x_0<0$，代入可得\[\dfrac14\left(\frac{1}{x_0}\right)^2+\frac 13\left(-\dfrac{y_0}{x_0}\right)^2=1\iff 4x_0^2-\frac 43y_0^2=1,\]因此 $M$ 在双曲线 $\dfrac{x^2}{\frac14}-\dfrac{y^2}{\frac 34}=1$ 的左支上，所以 $|MF_1|-|MF_2|$ 为定值 $1$．