已知椭圆 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上，中心为原点 $O$，经过点 $A\left(\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), B(0,1)$．
1、求 $E$ 的标准方程；
2、定义：若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两个点 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$ 满足 $\dfrac{x_1 x_2}{a^2}+\dfrac{y_1 y_2}{b^2}=0$，则称 $M, N$ 为该椭圆的一个共轭点对，记作 $[M, N]$．
① 证明；存在两个点 $G$ 使得 $[A, G]$ 是 $E$ 的共轭点对，并求 $G$ 的坐标：
② 设 ① 中的两个点 $G$ 分別为 $G_1, G_2$，已知过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $C, D$ 两点，则直线 $G_1 G_2$ 上是否存在定点 $Q$，使得直线 $Q C$ 与 $Q D$ 的斜率之积为定值．若存在，求出 $Q$ 的坐标：若不存在，请说明理由．
解析
1、$\dfrac{x^2}4+y^2=1$；
2、① 根据题意，$M(x_1,y_1),N$ 是共轭点对等价于 $N$ 在直线 $\dfrac{x_1}{a^2}x+\dfrac{y_1}{b^2}y=0$ 上，于是 $G$ 为直线 $x-2y=0$ 与椭圆的交点，坐标为 $\left(\pm\sqrt 2,\pm\dfrac{\sqrt 2}2\right)$；
② 设 $E:g(x,y)=0$，其中 $g(x,y)=\dfrac{x^2}2+2y^2-2$，则 $g_P(x,y)=x+2y-2$，直线 $G_1G_2:x-2y=0$，设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，则由于 $CD$ 过点 $P$，于是\[\dfrac{x_1-2}{x_2-2}=\dfrac{y_1-1}{y_2-1}=-\dfrac{x_1+2y_1-2}{x_2+2y_2-2},\]设 $(m_i,n_i)=(x_i-1,2y_i-1)$（$i=1,2$）$^{[1]}$，则 $^{[2]}$ 有\[\dfrac{m_1-1}{m_2-1}=\dfrac{n_1-1}{n_2-1}=-\dfrac{m_1+n_1}{m_2+n_2},\]从而\[\begin{cases} (m_1-1)(m_2+n_2)+(m_2-1)(m_1+n_1)=0,\\ (n_1-1)(m_2+n_2)+(n_2-1)(m_1+n_1)=0,\end{cases}\]两式相减可得\[2m_1m_2-2n_1n_2=0\iff \dfrac{n_1}{m_1}\cdot \dfrac{n_2}{m_2}=1,\]于是存在 $Q\left(1,\dfrac 12\right)$ 满足要求，且斜率之积为 $\dfrac 14$．
$[1]$ 设 $CQ,DQ$ 分别交椭圆于不同于 $C,D$ 的点 $C_1,D_1$，则 $C_1Q,D_1Q$ 的斜率之积也为定值，于是 $C_1D_1$ 亦过点 $P$，因此 $Q$ 为 $P$ 的极线 $x+2y-2=0$ 与 $G_1G_2$ 的交点 $\left(1,\dfrac 12\right)$．
$[2]$ 也可以进一步设 $CC_1:f(x,y)=0$，其中 $f(x,y)=2y-1-2k(x-1)$，则 $DD_1$ 的方程为\[ g(P)\cdot f(x,y)-2f(P)\cdot g_P(x,y)=0,\]也即\[2\big(2y-1-2k(x-1)\big)-2(1-2k)\cdot (x+2y-2)=0\iff 2k(2y-1)-(x-1)=0,\]斜率为 $\dfrac{1}{4k}$，以下略．