已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n, & a_n>n, \\ a_n+n, & a_n \leqslant n,\end{cases}$ 将所有满足 $a_k=100$ 的正整数 $k$ 从小到大排列得到数列 $\{b_n\}$，则（ ）
A．存在无穷多项 $a_n$，使得 $a_n=n$
B．对于任意正整数 $m$，存在 $n$，使得 $a_n=m$
C．数列 $\left\{b_n\right\}$ 的最小项不小于 $100$
D．不存在 $m$，使得 $\left\{b_n-m\right\}$ 是等比数列
答案 ABD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，在之前的问题 $^{[1]}$ 中，我们得到了满足 $a_n=n$ 的项号构成数列 $\{r_n\}$，其中 $r_1=1$，$r_{n+1}=3r_n-1$，于是选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，在之前问题的基础上，可以得到在 $r_k$ 和 $r_{k+1}$ 的项为 $1,2,\cdots,r_k$ 以及 $r_{k+1}-r_k+1,\cdots,r_{k+1}-1,r_{k+1}$，因此任何正整数都会在数列中出现，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，考虑到 $r_n:1,2,5,14,41,122,\cdots$，第一个满足 $a_k=100$ 的项号是\[122-(122-100)\cdot 2=78<100,\]选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，当 $n$ 很大时，每段中那些较大的数不再能取到 $100$，而每段中那些较小数能取到 $100$，且为第 $r_{k+1}-199$ 项，因此数列 $\{b_n\}$ 从某项开始与公比为 $3$ 的等比数列相差一个常数（但之前的项不满足），进而选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．
$[1]$ 2017年全国高中数学联赛 A 卷（二试）#2.