2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#17
某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 $5$ 个除颜色外其他都相同的小球，其中 $3$ 黑球 $2$ 个红球．\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{取球结果} & 2 ~\text{个红球} & 2~\text{个黑球} &\text{红,黑球各}~ 1~\text{个}\\ \hline \text{奖金} & 300~\text{元} & 200~\text{元} & 100 元\\\hline \end{array}\]
1、消费每满 $2000$ 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 $2$ 个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望；
2、若该商场对消费不足 $2000$ 元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是 $3$ 个黑球和 $2$ 个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 $1$ 个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．设第 $i$ 个抽幸运奖顾客获得第 $1$ 份幸运礼品记为事件 $A_i$，设第 $j$ 个抽幸运奖顾客获得第 $2$ 份幸运礼品记为事件 $B_j$．
① 求 $P\left(A_1 B_3\right)$ 和 $P\left(A_2\mid B_3\right)$；
② 求第 $k$（$k\geqslant 2$）位抽幸运奖顾客刚好获得第 $2$ 份幸运礼品的概率 $P(k)$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{取球结果} & 2 ~\text{个红球} & 2~\text{个黑球} &\text{红,黑球各}~ 1~\text{个}\\ \hline \text{奖金} & 300~\text{元} & 200~\text{元} & 100 元\\ \hline \text{概率}&\frac{1}{10}&\frac{3}{10}&\frac{6}{10}\\ \hline \end{array}\]因此所求数学期望为\[ E(X)=300 \times \frac{1}{10}+200 \times \frac{3}{10}+100 \times \frac{3}{5}=150.\]
2、① 根据题意，有\[ P(A_1B_3)=P(RBR)=\frac 25\cdot \frac 46\cdot \frac 26=\frac 4{45},\]而\[P(A_2\mid B_3)=\dfrac{P(A_2B_3)}{P(B_3)}=\dfrac{P(BRR)}{P(RBR)+P(BRR)}=\dfrac{P(BR)}{P(BR)+P(RB)}=\dfrac{\frac 35\cdot \frac 25}{\frac 25\cdot \frac 46+\frac 35\cdot \frac 25}=\frac{9}{19}.\]
② 根据题意，有\[\begin{split} P(k)&=\sum_{t=1}^{k-1}\left(\left(\frac 35\right)^{t-1}\cdot \frac 25\cdot \left(\frac 46\right)^{k-t-1}\cdot\frac 13\right)\\ &=\frac 25\cdot \left(\frac 23\right)^{k-2}\cdot \frac 13\cdot \sum_{t=1}^{k-1}\left(\left(\frac 35\right)^{t-1}\cdot \left(\frac 32\right)^{t-1}\right)\\ &=\dfrac15\left(\frac 23\right)^{k-1}\cdot \dfrac{1-\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}}{1-\frac{9}{10}}\\ &=2\left(\dfrac 23\right)^{k-1}\left(1-\left(\dfrac 9{10}\right)^{k-1}\right)\\ &=2\left(\left(\frac 23\right)^{k-1}-\left(\frac 35\right)^{k-1}\right),\end{split}\]