2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#14
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且满足 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=\mathrm e^{\frac{\pi}6}$，$f^{\prime}(x)\geqslant\left(1-\dfrac 1{\tan x}\right) f(x)$，则 $f\left(\dfrac{\pi}3\right)$ 的最小值为 _____．
答案 $\dfrac{\sqrt 3}3\mathrm e^{\frac{\pi}3}$．
解析 根据题意，有\[f'(x)+\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}-1\right)f(x)\geqslant 0,\]而\[\int \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}-1\right){ {\rm d}} x=\ln\sin x-x,\]于是构造函数\[g(x)=\mathrm e^{\ln \sin x-x}\cdot f(x)=\mathrm e^{-x}\cdot \sin x\cdot f(x),\]则\[g'(x)=\mathrm e^{\ln \sin x-x}\cdot \left(f'(x)+\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}-1\right)f(x)\right)\geqslant 0,\]于是 $g\left(\dfrac{\pi}6\right)=\dfrac 12$ 且 $g(x)$ 为 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的非减函数，于是\[g\left(\dfrac{\pi}3\right)\geqslant g\left(\dfrac{\pi}6\right)\implies \mathrm e^{-\frac{\pi}3}\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot f\left(\dfrac{\pi}3\right)\geqslant \dfrac 12\implies f\left(\dfrac{\pi}3\right)\geqslant \dfrac{\sqrt 3}3\mathrm e^{\frac{\pi}3},\]且等号当 $g(x)$ 为常函数时可以取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}3\mathrm e^{\frac{\pi}3}$．