2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#11
在棱长为 $a$ 的正四面体 $ABCD$ 中，$P,Q$ 分别为棱 $AB$ 和 $CD$（包括端点）上的动点，直线 $PQ$ 与平面 $ABC,ABD$ 所成角分别为 $\alpha,\beta$，则（ ）
A．点 $Q$ 到平面 $ABC$ 和平面 $ABD$ 的距离之和是定值
B．$\sin\alpha-\sin\beta$ 的正负由点 $Q$ 位置确定，与点 $P$ 位置无关
C．$\sin\alpha+\sin\beta$ 的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 3}3$
D．正四面体顶点在球 $O$ 的球面上，当 $CQ=\dfrac 3 4 CD$ 时，则过点 $Q$ 截球 $O$ 的截面面积最小值为 $\dfrac{3\pi a^2}{16}$
答案 ABD．
解析 补形处理．
对于选项 $\boxed{A}$，由于 $CD$ 与 $ABC,ABD$ 成的角相等，设为 $\theta$，则\[d(Q,ABC)+d(Q,ABD)=QC\sin\theta+QD\sin\theta=CD\sin\theta,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，有\[\sin\alpha-\sin\beta=\dfrac{d(Q,ABC)}{PQ}-\dfrac{d(Q,ABD)}{PQ}=\dfrac{(QC-QD)\cos\theta}{PQ},\]选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，有\[\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac{d(Q,ABC)}{PQ}+\dfrac{d(Q,ABD)}{PQ}=\dfrac{CD\sin\theta}{PQ}\leqslant \sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt 6}3=\dfrac{2\sqrt 3}3,\]选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，正四面体的外接球球心即正方体中心，半径 $R=\dfrac{\sqrt 6}4a$，于是\[QO^2=\left(\dfrac 14a\right)^2+\left(\dfrac{1}{2\sqrt 2}a\right)^2=\dfrac3{16}a^2,\]因此过点 $Q$ 截球 $O$ 的截面面积最小值为\[\pi (R^2-QO^2)=\dfrac{3\pi a^2}{16},\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．