2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#19
设函数 $f(x)=\mathrm e^x(\sin x+\cos x)$，其导函数记为 $g(x)$．
1、求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程；
2、当 $x\in\left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，求证：$f(x)+g(x)\left(\dfrac{3\pi}4-x\right)\geqslant 0$；
3、设 $x_n$ 是 $f(x)=1$ 在区间 $\left(2 n\pi+\dfrac{\pi}2,2 n\pi+\dfrac{3\pi}4\right)$ 内的根，其中 $n\in \mathbb N$，求证：\[2 n\pi+\dfrac{3\pi}4-x_n<-\dfrac 1 2\mathrm e^{-2\pi n}\left(\tan x_0+1\right).\]
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\mathrm e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)=2\mathrm e^x\cos x,\]于是 $f(0)=1$，$f'(0)=2$，从而所求切线方程为 $y=2x+1$．
2、欲证不等式即\[\mathrm e^x(\sin x+\cos x)+2\mathrm e^x\cos x\left(\dfrac{3\pi}4-x\right)\geqslant 0,\]即\[\sin x+\cos x+2\left(\dfrac{3\pi}4-x\right)\cos x\geqslant 0,\]也即\[1+\tan x+\dfrac{3\pi}2-2x\geqslant 0,\]设不等式左侧为函数 $h(x)$，则在 $x\in\left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，其导函数\[h'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-2\geqslant 0,\]于是 $h(x)$ 在该区间上单调递增，而 $h\left(\dfrac{3\pi}4\right)=0$，因此命题得证．
3、设 $2n\pi+\dfrac{3\pi}4-x_n=d_n$，$x_n=2n\pi+t_n$，则 $d_n=\dfrac{3\pi}4-t_n$ 且 $t_n\in\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}4\right)$．
将 $x_n$ 转化为 $t_n$ 根据题意，有\[ f(x_n)=1\iff \mathrm e^{2n\pi+t_n}\left(\sin(2n\pi+t_n)+\cos(2n\pi+t_n)\right)=1\iff \mathrm e^{2n\pi}\cdot f(t_n)=1,\]于是 $f(t_n)=\mathrm e^{-2n\pi}$．
建立 $(\tan x_0+1)$ 与 $g$ 的联立 根据题意，有\[f(x_0)=1\iff \mathrm e^{x_0}\cos x_0(\tan x_0+1)=1\iff \dfrac{\tan x_0+1}2=\dfrac{1}{g(x_0)}=\dfrac{1}{g(t_0)}.\]
化简目标不等式 此时欲证不等式即\[d_n<-\dfrac{f(t_n)}{g(t_0)},\]
利用已知结论将 $t_n$ 转化为 $d_n$ 根据第 $(2)$ 小题的结论，有\[f(t_n)+g(t_n)\cdot d_n> 0\implies d_n<-\dfrac{f(t_n)}{g(t_n)},\]其中需要注意 $g(t_n)<0$．因此只需要证明\[g(t_n)\leqslant g(t_0)\impliedby t_n\geqslant t_0\impliedby f(t_n) \leqslant f(t_0),\]其中\[g'(x)= 2\sqrt 2\mathrm e^x\sin\left(x+\dfrac{3\pi}4\right),\quad f'(x)=2\mathrm e^x\cos x,\]于是 $g(x),f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}4\right)$ 上均单调递减．
综上所述，原命题得证．