已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $S(0,\sqrt 6)$，且过点 $P(1,\sqrt 3)$．
1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；
2、若斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点（直线 $PA$ 斜率为正），直线 $PA, PB$（若 $P,B$ 重合，直线 $PB$ 即为椭圆 $\Gamma$ 在 $P$ 点处的切线）分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，$H$ 为 $PN$ 中点．
① 求 $\sin\angle PMH$ 的最大值；
② 当 $\sin\angle PMH$ 最大时，将坐标平面沿 $x$ 轴折成二面角 $P-MN-A$，在二面角 $P-MN-A$ 大小变化过程中，求三棱锥 $P-MNA$ 外接球表面积取得最小值时三棱锥 $P-MNA$ 的内切球的半径．
解析
1、根据题意，有 $a=\sqrt 6$，且\[\dfrac{(\sqrt 3)^2}{a^2}+\dfrac{1^2}{b^2}=1,\]解得 $a^2=6$，$b^2=2$，于是所求椭圆方程为 $\dfrac{y^2}6+\dfrac{x^2}2=1$．
2、发现不变量 记 $Q(1,-\sqrt 3)$，在伸缩变换 $x=x'$，$y=\sqrt 3y'$ 下，设 $P,A,B,H,Q$ 的对应点分别为 $P',A',B',H',Q'$，则有直线 $OQ'$ 的斜率为 $-1$，直线 $A'B'$ 的斜率为 $1$，因此 $OQ'\perp A'B'$，根据垂径定理，$Q'$ 平分弧 $A'B'$，进而直线 $PA',PB'$ 的斜率互为相反数，回到原坐标系，直线 $PA,PB$ 的斜率互为相反数，于是 $|PM|=|PN|$，因此 $\angle PMN=\angle PNM$，且可以取遍所有锐角．
① 建立直角坐标系 $K-NP$，其中 $K$ 为 $MN$ 的中点，不妨设 $N(2,0),M(-2,0),P(0,2x)$，则 $H(1,x)$，于是直线 $MH,MP$ 的斜率分别为 $\dfrac x3,x$，因此\[\tan\angle PMH=\dfrac{x-\frac x3}{1+x\cdot \frac x3}=\dfrac{2}{\frac 3x+x}\leqslant \dfrac{2}{2\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}3,\]从而 $\sin\angle PMH$ 的最大值为 $\dfrac12$，当 $x=\sqrt 3$ 时取得．
② 当 $\sin\angle PMH$ 最大时，$M=O$，且 $A$ 为 $P$ 点关于 $O$ 的对称点，此时三棱锥 $P-MNA$ 的外接球球心 $T$ 在面 $AMN$ 内的投影为 $Q$，于是其外接球半径 $R\geqslant |QA|=2$，等号当 $Q-PMN$ 为正四面体时取得，此时\[[P-AMN]=[P-QMN]=\dfrac {2\sqrt 2}3,\]而\[ PM=PN=2,\quad PA=2\sqrt 2,\quad MA=MN=2,\quad AN=2\sqrt 3,\]进而\[ [\triangle PMA]=2,\quad [\triangle PMN]=[\triangle AMN]=\sqrt3,\quad [\triangle PAN]=2\sqrt 2,\]因此其内切球半径\[r=\dfrac{2\sqrt 2}{2+2\sqrt 3+2\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{1+\sqrt 2+\sqrt 3}.\]