设直线 $l$ 交椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 于 $P,Q$ 两点，$O$ 为坐标原点且三角形 ${POQ}$ 的面积为 $\dfrac{a b}2$，$ M$ 为线段 $PQ$ 中点．求证：$P,Q$ 的横坐标平方和与纵坐标平方和均为定值，并求 $|OM|\cdot|PQ|$ 的最大值．
解析 作伸缩变换 $x'=x$，$y'=\dfrac aby$，$P,Q$ 的对应点分别为 $P',Q'$，则 $\triangle OP'Q'$ 的面积为 $\dfrac 12a^2$，从而 $OP'\perp OQ'$，因此 $P',Q'$ 的横坐标平方和与纵坐标平方和均为 $a^2$，进而 $P,Q$ 的横坐标平方和为 $a^2$，纵坐标平方和为 $b^2$． 根据椭圆的垂径定理，可得设直线 $OM,PQ$ 的斜率分别为 $\dfrac {bt}a,-\dfrac b{at}$，则根据直线的夹角公式，直线 $OM,PQ$ 的夹角 $\theta$ 满足\[\tan\theta=\dfrac{\left|\dfrac{bt}a+\dfrac{b}{at}\right|}{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\geqslant \dfrac{2ab}{a^2-b^2},\]从而\[|OM|\cdot |OQ|=\dfrac{2[\triangle POQ]}{\sin\theta}\leqslant \dfrac{ab}{\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}=\dfrac{a^2+b^2}2,\]等号当 $t=\pm 1$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{a^2+b^2}2$．
备注
设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，$l: y=k x+m$（斜率不存在可以看成 $k\to\infty$ 的情形），与曲线 $C$ 联立 得：\[\left(a^2 k^2+b^2\right) x^2+2 a^2 k m x+a^2\left(m^2-b^2\right)=0,\]于是\[x_1+x_2=-\dfrac{2 a^2 k m}{a^2 k^2+b^2},\quad x_1 x_2=\dfrac{a^2\left(m^2-b^2\right)}{a^2 k^2+b^2},\]点 $O$ 到直线 $l$ 的距离\[d=\dfrac{|m|}{\sqrt{1+k^2}},\]而\[| PQ|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{\dfrac{4 a^4 k^2 m^2}{\left(a^2 k^2+b^2\right)^2}-\dfrac{4 a^2\left(m^2-b^2\right)}{a^2 k^2+b^2}} =\dfrac{2 a b\sqrt{1+k^2}}{a^2 k^2+b^2}\sqrt{a^2 k^2+b^2-m^2},\]于是 $\triangle POQ$ 的面积\[S=\dfrac{ab}2\implies \dfrac{a b|m|}{a^2 k^2+b^2}\sqrt{a^2 k^2+b^2-m^2}=\dfrac{a b}2,\]整理得\[a^2 k^2+b^2=2 m^2,\]此时\[x_1+x_2=-\dfrac{a^2 k}m,\quad x_1 x_2=\dfrac{a^2\left(m^2-b^2\right)}{2 m^2},\]于是\[x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_2 x_2=\dfrac{a^4 k^2-a^2\left(m^2-b^2\right)}{m^2}=\dfrac{a^2\left(2 m^2-b^2\right)-a^2 m^2+a^2 b^2}{m^2}=a^2,\]将 $x_1^2+x_2^2=a^2$ 代入 $\dfrac{x_1^2+x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2+y_2^2}{b^2}=2$ 得\[y_1^2+y_2^2=b^2,\quad y_1+y_2=k\left(x_1+x_2\right)+2 m=2 m-\dfrac{a^2 k^2}m=\dfrac{2 m^2-a^2 k^2}m=\dfrac{b^2}m,\]且\[|OM|^2=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(y_1+y_2\right)^2}4 =\dfrac{a^4 k^2+b^4}{4 m^2}=\dfrac{a^2\left(2 m^2-b^2\right)+b^4}{4 m^2}=\dfrac{2 a^2 m^2-b^2 c^2}{4 m^2}=\dfrac{a^2}2-\dfrac{b^2 c^2}{4 m^2},\]而\[|PQ|^2=\dfrac{a^2 b^2\left(1+k^2\right)}{m^2}=\dfrac{a^2 b^2+b^2\left(2 m^2-b^2\right)}{m^2}=b^2\left(2+\dfrac{c^2}{m^2}\right),\]从而\[\left(|OM|\cdot | PQ|\right)^2=\dfrac{b^2}4\left(2 a^2-\dfrac{b^2 c^2}{m^2}\right)\left(2+\dfrac{c^2}{m^2}\right) =\dfrac{b^2}4\left(-\dfrac{b^2 c^4}{m^4}+\dfrac{2 c^4}{m^2}+4 a^2\right),\]当 $\dfrac 1{m^2}=\dfrac 1{b^2}$ 时 $|OM|\cdot |PQ|$ 取得最大值 $\dfrac{a^2+b^2}2$．