已知 $a\geqslant b\geqslant c>0$，若函数 $f(x)=\ln (2ax^2-bx+c)$ 的值域为 $\mathbb R$，则 $\max\left\{\dfrac a{b+c},\dfrac b{c+a},\dfrac c{a+b}\right\}$ 的最小值为_____．
答案 $\dfrac 89$．
解析 根据题意考虑到齐次性，不妨设 $c=1$，$a,b,c$ 的约束条件为\[ \begin{cases} 2a>0,\\ b^2-8ac\geqslant 0,\\ a\geqslant b\geqslant c>0,\end{cases}\iff \begin{cases} a\geqslant 8,\\ 2\sqrt{2a}\leqslant b\leqslant a,\end{cases}\]从而\[\dfrac{a}{b+c}\geqslant \dfrac{b}{c+a}=\dfrac{b}{1+a}>\dfrac 1{a+b}=\dfrac{c}{a+b},\]因此\[\max\left\{\dfrac a{b+c},\dfrac b{c+a},\dfrac c{a+b}\right\}=\dfrac a{b+1}\geqslant \dfrac{a}{a+1}\geqslant \dfrac89,\]所求最小值为 $\dfrac 89$，当 $(a,b,c)=(8,8,1)$ 时可以取得．