已知 $n\geqslant 2$，$a_1,a_2,\cdots,a_{n}\geqslant 0$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2=S$，则 $M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(i\cdot a_i)$ 的最大值为_____，最小值为_____（用 $S$ 和 $n$ 表示）．
答案 $\sqrt{\dfrac{n(n+1)(2n+1)S}6}$，$\sqrt S$．
解析 根据柯西不等式，有\[M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(i\cdot a_i)\leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n}i^2\cdot \sum_{i=1}^{n}a_i^2}=\sqrt{\dfrac{n(n+1)(2n+1)S}6},\]等号当 $\dfrac{a_1}1=\dfrac{a_2}2=\cdots=\dfrac{a_{n}}{n}=\sqrt{\dfrac{6S}{n(n+1)(2n+1)}}$ 时取得，因此所求最大值为 $\sqrt{\dfrac{n(n+1)(2n+1)S}6}$． 另一方面，有\[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(i\cdot a_i)\geqslant \sum_{i=1}^{n}a_i\geqslant \sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}=\sqrt S,\]等号当 $a_1=\sqrt S$，$a_2=\cdots=a_n=0$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt S$．
备注 一组比较好算的数为 $n=24$，$S=2025$，此时最大值为 $3150$，最小值为 $45$．