已知 $a,b,c$ 是外接圆半径为 $R$ 的三角形三边长，则 $m=\dfrac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$ 的最大值为_____（用 $R$ 表示）．
答案 $\dfrac{2R}{\sqrt 5}$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} m&=^{[1]}\dfrac{2abR\sin C}{a^2+b^2+2(a^2+b^2-2ab\cos C)}\\ &= \dfrac{2abR\sin C}{3(a^2+b^2)-4ab\cos C}\\ &\leqslant^{[2]} \dfrac{2R\sin C}{3-2\cos C}\\ &\leqslant^{[3]} \dfrac{2R\sin C}{\sqrt {3^2-2^2}\cdot \sqrt{1-\cos^2C}}\\ &\leqslant \dfrac{2R}{\sqrt 5},\end{split}\]等号当 $a=b$ 且 $\cos C=\dfrac 23$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{2R}{\sqrt 5}$．
备注
$[1]$ 正弦定理以及余弦定理． $[2]$ 平均值不等式． $[3]$ 反向柯西不等式．