已知双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），$F$ 是双曲线的右焦点，$e$ 为双曲线的离心率．
1、过 $F$ 作渐近线的垂线，与双曲线和两条渐近线依次交于 $A,B,C$．
① 若 $\overrightarrow{FA}=\lambda\overrightarrow{FB}$，求 $e$；
② 若 $\overrightarrow{FB}=\mu\overrightarrow{FC}$，求 $e$．
2、若 $F$ 作渐近线的平行线，与双曲线以及双曲线的另一条渐近线交于 $D,E$，若 $\overrightarrow{FD}=t\overrightarrow{FE}$，求 $e$．
解析
1、设双曲线方程为 $f(x,y)=0$，半焦距为 $c$，渐近线方程为 $g(x,y)=)$，其中 $g(x,y)=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$．注意到 $B,C$ 的横坐标分别为 $\dfrac{a^2}c,-\dfrac{a^2}c$，于是\[g(BF)=f(BF)+1=1,\quad g(CF)=f(CF)+1=-1,\quad g(F)=f(F)+1=e^2.\]
① 根据题意，有\[A-F=\lambda (B-F)\iff A=\lambda B+(1-\lambda )F,\]于是\[f(A)=\lambda^2f(B)+2\lambda(1-\lambda)f(BF)+(1-\lambda)^2f(F),\]即\[-\lambda^2+(1-\lambda)^2(e^2-1)=0\iff e=\sqrt{1+\left(\dfrac{\lambda}{1-\lambda}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\dfrac{|FA|}{|AB|}\right)^2}.\]
② 根据题意，有\[B-F=\mu (C-F)\iff B=\mu C+(1-\mu )F,\]于是\[g(B)=\mu^2g(C)+2\mu(1-\mu)g(FC)+(1-\mu)^2g(F),\]即\[-2\mu(1-\mu)+(1-\mu)^2e^2=0\iff e=\sqrt{\dfrac{2\mu}{1-\mu}}=\sqrt{\dfrac{2|FB|}{|BC|}}.\]
2、根据题意，有 $E$ 点横坐标为 $\dfrac c2$，于是\[f(EF)=\dfrac 12e^2-1,\]进而\[D-F=t(E-F)\iff D=tE+(1-t)F,\]于是\[f(D)=t^2f(E)+2t(1-t)f(EF)+(1-t)^2f(F),\]即\[-t^2+2t(1-t)\left(\dfrac 12e^2-1\right)+(1-t)^2(e^2-1)=0\iff e=\dfrac{1}{\sqrt{1-t}}=\sqrt{\dfrac{|FD|}{|FE|}}.\]