已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上三点 $P,A,B$，其中 $P(x_0,y_0)$，若直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求直线 $AB$ 的方程．
解析 利用椭圆方程构建交点曲线\[ y_0\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1\right)=y\left(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1\right),\]即\[(x-x_0)\cdot \left(\dfrac{xy_0}{a^2}+\dfrac{x_0y}{a^2}\right)=(y-y_0)\cdot \left(\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}-1\right),\]即\[a^2\cdot k\cdot \left(\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}-1\right)=(xy_0+x_0y),\]类似的，有\[b^2\cdot \left(\dfrac{y_0y}{b^2}-\dfrac{x_0x}{a^2}-1\right)=k(xy_0+x_0y),\]其中 $k=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}$，因此直线 $AB$ 的方程为\[ a^2 k_1 k_2\left(\frac{x_0 x}{a^2}-\frac{y_0 y}{b^2}-1\right)+b^2\left(\frac{y_0 y}{b^2}-\frac{x_0 x}{a^2}-1\right)=\left(k_1+k_2\right)\left(x y_0+x_0 y\right), \]也即\[\begin{vmatrix}x_0&y_0\\ (k_1+k_2)a^2&a^2k_1k_2-b^2\end{vmatrix} \dfrac{x}{a^2}+\begin{vmatrix}x_0&y_0\\ a^2k_1k_2-b^2&-(k_1+k_2)b^2\end{vmatrix}\dfrac{y}{b^2}=a^2k_1k_2+b^2.\]