2025年广东深圳宝安区一模数学试卷 #11
已知函数 $f(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的奇函数，当 $0\leqslant x\leqslant 2$ 时，$f(x)=x^3-3 x$，且 $f(x)$ 的图象关于点 $(2,2)$ 中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．$f(3)=6$
B．函数 $y=f(x)-5$ 有三个零点
C．$g(x)=f(x)-x$ 是周期为 $4$ 的周期函数
D．线段 $y=x+\dfrac{16\sqrt 3}9,x\in[-2,10]$ 与 $y=f(x),x\in[-2,10]$ 的图象有 $6$ 个交点
答案 ABC．
解析 根据题意，有\[f(x)=\begin{cases} f(x+4)-4,&x<-2,\\ x^3-3x,&-2\leqslant x\leqslant 2,\\ f(x-4)+4,&x>2,\end{cases}\]如图．
对于选项 $\boxed{A}$，$f(3)=f(-1)+4=6$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，$y=f(x)$ 与直线 $y=5$ 的公共点对应横坐标在区间 $[2,6]$ 上，有 $3$ 个，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，由函数 $f(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的奇函数且关于 $(2,2)$ 对称，可得 $g(x)=f(x)-x$ 关于 $(0,0),(2,0)$ 对称，是周期为 $4$ 的函数，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，注意到\[(x^3-3x)-\left(x+\dfrac{16\sqrt 3}9\right)=\left(x+\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^2\left(x-\dfrac{4}{\sqrt 3}\right),\]于是直线 $l:y=x+\dfrac{16\sqrt 3}9$ 与函数 $f(x)$ 的图象在 $[-2,2),[2,6),[6,10]$ 上各有 $1$ 个切点，因此线段 $y=x+\dfrac{16\sqrt 3}9,x\in[-2,10]$ 与 $y=f(x),x\in[-2,10]$ 的图象有 $3$ 个交点，选项错误．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．