2025年广东深圳宝安区一模数学试卷 #19
已知函数 $f(x)=a\ln x-\sin x+x$，其中 $a$ 为非零常数．
1、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；
2、设 $\theta\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$，且 $\cos\theta=1+\theta\sin\theta$，证明：当 $\theta^2\sin\theta<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 上恰有两个极值点．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac ax-\cos x+1,\]于是\[f'(x)\geqslant 0\iff a\geqslant x(\cos x-1),\]右侧代数式的最小值为 $0$，于是所求 $a$ 的取值范围 $(0,+\infty)$．
2、方程 $f'(x)=0$ 即\[a=x\cos x-x,\]设函数 $g(x)=x\cos x-x$，则其导函数\[g'(x)=\cos x-x\sin x-1.\] 当 $x\in (0,\pi]$ 时，有\[g'(x)=-(1-\cos x)-x\sin x <0,\]于是 $g(x)$ 在该区间上单调递减； 当 $x\in \left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$ 时，有\[g''(x)=-(2\sin x+x\cos x)>0,\]于是 $g'(x)$ 在该区间上单调递增，而\[g'(\pi)=-2<0,\quad g'\left(\dfrac{3\pi}2\right)=\dfrac{3\pi}2-1>0,\]于是 $g'(x)$ 在该区间上有唯一零点，即 $x=\theta$，进而 $g(x)$ 在 $(\pi,\theta)$ 上单调递减，在 $\left(\theta,\dfrac{3\pi}2\right)$ 上单调递增； 当 $x\in\left[\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$ 时，有\[g'(x)>\cos x-\sin x-1=\sqrt{1-2\sin x\cos x}-1>0,\]于是 $g(x)$ 在该区间上单调递增；
综上所述，函数 $g(x)$ 满足\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0&(0,\theta)&\theta&(\theta,2\pi)&2\pi\\ \hline g(x)&0&\searrow&\theta^2\sin\theta&\nearrow&0\\ \hline\end{array}\]因此当 $\theta^2\sin\theta<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 上恰有两个极值点，命题得证．