2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #8
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a\in(0,1)$，记 $f(x)=\big|x-[x+a]\big|+\big|x-[x-a]\big|$，且 $\forall x\in \mathbb R$，有 $f(x)\leqslant M(a)$ 恒成立，则 $M(a)$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$\dfrac 3 2$
C．$\dfrac 5 3$
D．$2$
答案 B．
解析 由于 $f(x+1)=f(x)$，于是只需要研究 $x\in [0,1)$ 的情形．讨论分界点为 $x=1-a,a$，进一步 $a$ 的讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．
情形一 $0<a<\dfrac 12$．此时有\[f(x)=\begin{cases} |x|+|x-(-1)|,&x\in [0,a),\\ |x|+|x|,&x\in [a,1-a),\\ |x-1|+|x|,&x\in[1-a,1),\end{cases}=\begin{cases} 2x+1,&x\in [0,a),\\ 2x,&x\in [a,1-a),\\ 1,&x\in[1-a,1),\end{cases}\]于是 $f(x)$ 的上确界为\[\max\{2a+1,2-2a\}\geqslant \dfrac{(2a+1)+(2-2a)}2=\dfrac 32,\]等号当 $a=\dfrac 14$ 时取得．
情形二 $\dfrac 12\leqslant a<1$．此时有\[f(x)=\begin{cases} |x|+|x-(-1)|,&x\in [0,1-a),\\ |x-1|+|x-(-1)|,&x\in [1-a,a),\\ |x-1|+|x|,&x\in[a,1),\end{cases}=\begin{cases} 2x+1,&x\in [0,1-a),\\ 2,&x\in [1-a,a),\\ 1,&x\in[a,1),\end{cases}\]于是 $f(x)$ 的最大值为 $2$．
综上所述，$M(a)$ 的最小值为 $\dfrac 32$．