2025年四川南充市高考一诊数学试卷 #8
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$，$g(x)=x-\ln x$，若直线 $y=a$ 与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有四个不同的交点 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\left(x_3,y_3\right),\left(x_4,y_4\right)$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，则 $\dfrac{x_1+x_4}{x_2+x_3}$ 的值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
答案 A．
解析 根据题意，有 $f(x)=g\left(\mathrm e^x\right)$，且\[f'(x)=\mathrm e^x-1,\]于是函数 $f(x),g(x)$ 的草图如图．
因此 $\mathrm e^{x_1}=x_2$，$\mathrm e^{x_3}=x_4$，进而有\[ \mathrm e^{x_1}-x_1=x_2-\ln x_2=\mathrm e^{x_3}-x_3=x_4-\ln x_4=a,\]可得\[x_1+x_4=\mathrm e^{x_1}+\ln x_4=x_2+x_3,\]于是 $\dfrac{x_1+x_4}{x_2+x_3}$ 的值为 $1$．