2025年四川南充市高考一诊数学试卷 #11
已知函数 $f(x)=x^x$（$x>0$），则下列说法中正确的有（ ）
A．$\ln f(x)=x\ln x$
B．$y=f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x-y=0$
C．若函数 $g(x)=\ln (a f(x))$，存在 $x\in(0,+\infty)$ 使得 $g(x)\leqslant 0$ 成立，则 $0<a\leqslant \mathrm e^{\mathrm e}$
D．若函数 $h(x)=\ln f(x)-x-m$ 有两个零点 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2<\mathrm e$
答案 ABD．
对于选项 $\boxed{A}$，$\ln f(x)=\ln x^x=x\ln x$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\left(x^x\right)'=\left(\mathrm e^{x\ln x}\right)'=x^x\cdot (\ln x+1),\]因此 $f(1)=1$，$f'(1)=1$，在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x-y=0$，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，有 $g(x)\leqslant 0$ 即\[ a\cdot x^x\leqslant 1,\]而根据对选项 $\boxed{B}$ 的分析可得函数 $f(x)=x^x$ 在 $x=\mathrm e^{-1}$ 处取得极小值，亦为最小值 $f\left(\mathrm e^{-1}\right)=\mathrm e^{-\frac{1}{\mathrm e}}$，因此 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}\right)$，选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，有 $h(x)=0$ 即 $x\ln x-x=m$，且\[(x\ln x-x)'=\ln x,\]于是\[0<x_1<1<x_2<\mathrm e,\]取辅助函数\[\varphi(x)=\begin{cases} -x,&x\in (0,1],\\ x-\mathrm e,&x\in (1,\mathrm e],\end{cases}\]设 $y=m$ 与函数 $\varphi(x)$ 的公共点横坐标为 $x_3,x_4$（$x_3<x_4$），则\[0<x_1<x_3<1<x_2<x_4<\mathrm e,\]于是\[x_1+x_2<x_3+x_4=(-m)+(\mathrm e+m)=\mathrm e,\]选项正确 $^{[1]}$；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．