2025年10月深圳中学高三阶段数学考试（1） #8
若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称，则 $f(x)$ 最大值为（ ）
A．$16$
B．$10+8 \sqrt{ 10}$
C．$36$
D．$19+6 \sqrt{ 10}$
答案 C．
解析 根据题意，函数 $f(x-3)$ 必然为偶函数，而\[(1-x^2)\big|_{x\to x-3}=1-(x-3)^2=6x-(x^2+8),\]于是\[(x^2+ax+b)\big|_{x\to x-3}=6x+(x^2+8),\]于是\[\begin{split} f(x-3)&=\left(6x-\left(x^2+8\right)\right)\cdot \left((6x+\left(x^2+8\right)\right)\\ &=36x^2-\left(x^2+8\right)^2\\ &=-x^4+20x^2-64\\ &=-(x^2-10)^2+36\\ &\leqslant 36,\end{split}\]等号当 $x^2=10$ 时取得．因此所求的 $f(x)$ 的最大值，即 $f(x-3)$ 的最大值，为 $36$．
备注 本题考查函数的对称性与最值，利用多项式函数的代数结构特点简化问题是解决问题的关键．
$[1]$ 由 $x=-1,1$ 为函数零点，由对称性知 $x=5,7$ 也为函数零点，于是写出函数解析式，然后往左平移 $3$ 个单位，求解最值．
$[2]$ 由对称性有 $f(x)=-(1-x^2)\big(1-(6-x)^2\big)$．