2025年10月深圳中学高三阶段数学考试（1）#11
定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在 $\triangle A B C$ 中，$B C=1$，$B C$ 边上的高等于 $\tan A$，以 $\triangle A B C$ 的各边为直径向 $\triangle A B C$ 外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为 $W$，其“直径”为 $d$，则（ ）
A．$A B^{2}+A C^{2}=3$
B．$\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 5}{4}$
C．当 $\angle A B C=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$d=\dfrac{\sqrt 6+1}2$
D．$d$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt{6}+1}{2}$
答案 ABD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，根据题意，有\[\dfrac 12a\tan A=\dfrac 12bc\sin A\implies bc\cos A=1,\]根据余弦定理，有\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\implies 1=b^2+c^2-2\implies b^2+c^2=3,\] 选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，设 $A$ 在 $BC$ 上的投影为 $H$，$\overline BH=m$，$\overline HC=n$，且 $m+n=1$，$AH=h$，则\[b^2+c^2=3\implies (m^2+h^2)+(n^2+h^2)=3\implies h=\sqrt{\dfrac{3-(m^2+n^2)}2},\]因此 $\triangle ABC$ 的面积\[[\triangle ABC]=\dfrac 12ah=\dfrac{\sqrt{3-(m^2+n^2)}}{2\sqrt 2}\leqslant \dfrac{\sqrt{3-2\left(\dfrac{m+n}2\right)^2}}{2\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5}4,\]等号当 $m=n=\dfrac 12$ 时取得，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，如图，可得对一般的 $\triangle ABC$，有\[d=\dfrac12(a+b+c)\leqslant \dfrac 12+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}2}=\dfrac{1+\sqrt 6}2,\]等号当 $b=c=\dfrac{\sqrt 6}2$ 时取得，且等号取得时 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为顶角的等腰三角形，此时 $\angle ABC$ 为锐角，选项 $\boxed{C}$ 错误，选项 $\boxed{D}$ 正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．