已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，在 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \cdots, \dfrac{1}{n+1}$ 共 $n$ 个数中，每次任意去掉 $2 $ 个数 $a$ 和 $b$，再写上数字 $a+b+a b$，则最终剩下的一个数是_____．
答案 $\dfrac n2$．
解析 根据题意，设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是题中 $n$ 个数的排列，则\[(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)\to (a_1+a_2+a_1a_2,a_3,\cdots, a_n)\to \cdots,\]注意到 $a+b+ab=(a+1)(b+1)-1$，因此给每个数都加 $1$，则每次操作都是将其中 $2$ 个数相乘，如\[(a_1+1,a_2+1,a_3+1,\cdots,a_n+1)\to ((a_1+1)(a_2+1),\cdots,a_n+1)\to \cdots\to (a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1),\]因此所求结果为\[\prod_{k=1}^n\left(\dfrac 1{1+k}+1\right)-1=\dfrac{n+2}2-1=\dfrac n2.\]