$3^{2026}$ 的末尾四位数是_____．
答案 $8329$．
解析 考虑用欧拉定理简化 $^{[1]}$，有 $\varphi(2^4)=8$，$\varphi(5^4)=500$，从而\[3^8\equiv 1\pmod {16},\quad 3^{500}\equiv 1\pmod {625},\]进而\[3^{2026}\equiv 3^2=9\pmod{16},\quad 3^{2026}\equiv 3^{26}\pmod{625},\]由于 $3^6=729\equiv 104\pmod{625}$，于是\[3^{12}\equiv 104^2=10816\equiv 191\pmod{625},\]进而\[3^{24}\equiv 191^2=36481\equiv 231\pmod{625},\]从而\[3^{26}\equiv 231\cdot 9=2079\equiv 204\pmod{625},\]设 $3^{2026}=n=625m+204$，则\[(625m+204)\equiv (m+12)\pmod{16}\implies m\equiv 13\pmod{16},\]因此\[n=625(16k+13)+204=10000k+8329,\]所以 $3^{2026}$ 的末尾四位数是 $8329$．
另法
考虑用二项式定理，在模 $10000$ 的意义下，有\[ \begin{split} 3^{2026}&=(10-1)^{1013}\equiv (-1)+10\binom{1013}{1}-10^2\binom{1013}{2}+10^3\binom{1013}{3}\\ &=-1+130-100\cdot 1013\cdot 506+1000\cdot 1013\cdot 506\cdot 337\\ &=-1+130-100\cdot 13\cdot 6+1000\cdot 3\cdot 6\cdot 7\\ &=-1+130-7800+6000\\ &=-1671\equiv 8329.\end{split}\]
备注 根据卡迈克尔函数，有 $3^{2026}\equiv 3^{26}$，于是\[ \begin{split} 3^{26}&=(10-1)^{13}\equiv (-1)+10\binom{13}{1}-10^2\binom{13}{2}+10^3\binom{13}{3}\\ &=-1+130-100\cdot 13\cdot 6+1000\cdot 13\cdot 2\cdot 11\\ &=-1+130-100\cdot 13\cdot 6+1000\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\ &=-1+130-7800+6000\\ &=-1671\equiv 8329.\end{split}\]